Derivada do Produto de uma Constante por uma Função: Derivada Do Produto De Uma Constante Por Uma Função Exemplo
Derivada Do Produto De Uma Constante Por Uma Função Exemplo – Este artigo explora a regra da derivada para o produto de uma constante por uma função, um conceito fundamental no cálculo diferencial. Compreender essa regra simplifica significativamente o cálculo de derivadas de uma ampla gama de funções, facilitando a análise de taxas de variação e a resolução de problemas em diversas áreas, como física, engenharia e economia.
Introdução à Derivada do Produto de uma Constante por uma Função, Derivada Do Produto De Uma Constante Por Uma Função Exemplo
A derivada de uma função representa a taxa instantânea de variação dessa função em relação a sua variável independente. Geometricamente, a derivada em um ponto representa a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. A regra do produto, em sua forma geral, afirma que a derivada do produto de duas funções, f(x) e g(x), é dada por: d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
No caso específico do produto de uma constante c por uma função f(x), a regra se simplifica consideravelmente. A derivada de cf(x) é simplesmente c multiplicado pela derivada de f(x): d/dx[ cf(x)] = cf'(x).
Exemplos de Cálculo da Derivada
A aplicação da regra da derivada de uma constante vezes uma função é direta. Vejamos alguns exemplos:
| Função Original | Constante | Função Derivada | Passos da Derivada |
|---|---|---|---|
| f(x) = 5x² | 5 | f'(x) = 10x | d/dx[5x²] = 5
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| g(x) = -2sin(x) | -2 | g'(x) = -2cos(x) | d/dx[-2sin(x)] = -2
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| h(x) = 3ex | 3 | h'(x) = 3ex | d/dx[3ex] = 3
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Aplicações da Regra da Derivada
A regra da derivada do produto de uma constante por uma função encontra aplicações em diversos problemas de otimização e em modelos físicos.
Exemplo de Otimização: Encontrar as dimensões de um retângulo com perímetro fixo que maximiza sua área. A área é dada por A = xy, e o perímetro por P = 2x + 2y. Podemos expressar y em termos de x e P, e então encontrar a derivada da área em relação a x para determinar o ponto crítico que maximiza a área.
Exemplo de Física: Consideremos o movimento de um objeto com aceleração constante. A velocidade é dada por v(t) = v 0 + at, onde v 0 é a velocidade inicial e a é a aceleração. A derivada da velocidade em relação ao tempo nos dá a aceleração: dv/dt = a, que é constante neste caso.
Exemplo de Problema de Física: Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20 m/s. Sua posição em função do tempo é dada por h(t) = 20t – 5t², onde h(t) é a altura em metros e t é o tempo em segundos. A velocidade do projétil é a derivada da posição em relação ao tempo: v(t) = dh(t)/dt = 20 – 10t.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = dv(t)/dt = -10 m/s², que representa a aceleração da gravidade.
Comparação com outras Regras de Derivação
A regra da derivada do produto de uma constante por uma função é um caso particular da regra do produto geral. Comparada com a regra da derivada da soma [d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)], ela é mais simples, pois envolve apenas uma função e uma constante. A diferença fundamental reside na presença ou ausência de um segundo termo na derivada do produto.
A regra da derivada da soma lida com a derivada da soma de funções, enquanto a regra da constante vezes uma função lida com a derivada de um produto de uma constante e uma função.
Ilustração Gráfica da Derivada
O gráfico da derivada de uma função cf(x) reflete a taxa de variação da função original. A inclinação da reta tangente ao gráfico de cf(x) em um ponto específico é igual ao valor da derivada nesse ponto. Pontos onde a derivada é zero correspondem a pontos críticos (máximos ou mínimos locais) da função original. A concavidade do gráfico de cf(x) é determinada pela segunda derivada, indicando se a função está aumentando ou diminuindo sua taxa de variação.
Derivadas de Ordem Superior
A segunda derivada de cf(x) é calculada derivando a primeira derivada: d²/dx²[ cf(x)] = cf”(x). Analogamente, derivadas de ordem superior são obtidas derivando sucessivamente. Por exemplo, a terceira derivada é cf”'(x). A segunda derivada fornece informações sobre a concavidade da função original, enquanto a terceira derivada ajuda a identificar pontos de inflexão.
Exemplo: Para f(x) = 4x³, a primeira derivada é f'(x) = 12x², a segunda derivada é f”(x) = 24x, e a terceira derivada é f”'(x) = 24. Para g(x) = 2e x, a primeira derivada é g'(x) = 2e x, a segunda derivada é g”(x) = 2e x, e a terceira derivada é g”'(x) = 2e x. A análise das derivadas de ordem superior fornece insights sobre o comportamento da função, como concavidade e pontos de inflexão.
O que acontece se a constante for zero?
Se a constante for zero, a derivada do produto será sempre zero, independente da função.
Como essa regra se relaciona com a derivada de uma potência?
A regra da potência é um caso especial da regra do produto de uma constante por uma função, onde a função é uma potência de x.
Existem limitações para o uso desta regra?
A regra se aplica a funções diferenciáveis. Funções com descontinuidades ou pontos não diferenciáveis requerem um tratamento diferenciado.